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抽象代数学における（半）順序群（じゅんじょぐん、）は、両側移動不変な順序関係を付加的な構造として備えた群である。 == 定義 == 群 (''G'', ·) と ''G'' 上の順序 ≤ が与えられ ''G'' の任意の元 ''a'', ''b'', ''g'' に対して : ''a'' ≤ ''b'' ならば ''ag'' ≤ ''bg'' かつ ''ga'' ≤ ''gb'' が成り立つ という意味で順序 ≤ と群演算 "·" とが両立するとき、(''G'', ·, ≤) は順序群であるという。紛れの惧れがないならばこれを単に順序群 ''G'' と書く。 以下、群演算の可換性を仮定しないが、順序群は加法的に記すものとする。即ち、群演算を "+", 群の単位元を 0, ''x'' の逆元を −''x'' で表す。 順序群 ''G'' の元 ''x'' が ''G'' の正元 (''positive element'') とは 0 ≤ ''x'' を満たすことを言う。''G'' の正元全体の成す集合を ''G'' の正錐 (''positive cone'') と呼び、しばしば ''G''+ で表す。正錐を用いれば、''a'' ≤ ''b'' ⇔ −''a'' + ''b'' ∈ ''G''+ と書ける。 一般の群 ''G'' に対して、正錐の存在は ''G'' を順序群とする順序を一意的に定める。即ち、群 ''G'' が順序群となるための必要十分条件は、以下の条件を満たす部分集合 ''H'' が存在することである（この ''H'' が正錐 ''G''+ になる）。 * ''0'' ∈ ''H'' * ''a'' ∈ ''H'' かつ ''b'' ∈ ''H'' ならば ''a'' + ''b'' ∈ ''H'' * ''a'' ∈ ''H'' ならば −''x'' + ''a'' + ''x'' ∈ ''H'' が各 ''x'' ∈ ''G'' に対して成り立つ。 * ''a'' ∈ ''H'' かつ −''a'' ∈ ''H'' ならば ''a'' = 0 である 従ってしばしばこの条件を満たす組 (''G'', ''H'') を順序群と定義することもある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「順序群」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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