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数学において順序集合（じゅんじょしゅうごう、）とは「順序」の概念が定義された集合の事で、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元 , に順序関係が定まっている（「比較可能」である）必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。 比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合（はんじゅんじょしゅうごう、）ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 () という。（「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。） 全順序集合の簡単な例は整数の集合や実数の集合で、通常の大小比較を順序とみなしたものがある。 一方、全順序ではない半順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を入れたものや、（2つ以上元を含む）集合の冪集合において、包含関係を順序とみなしたものがある。例えば2元集合 において と はいずれも他方を包含していないので ''S'' の冪集合は全順序ではない。 実生活に近い例では、「AさんはBさんの子孫である」という事を「A＜B」という大小関係とみなす事で人間全体の集合を半順序集合とみなせる。AさんとBさんはどちらも他方の子孫でない事もありうる（兄弟同士、叔父と甥、赤の他人等）ので、この順序集合は全順序ではない。 == 定義 == 全順序集合、半順序集合、およびこれらよりさらに弱い概念である前順序集合の定義を述べる為にまず以下の性質を考える。ここで は集合であり、「」を 上で定義された二項関係とする。 *反射律： の任意の元 に対し、 が成り立つ。 *推移律： の任意の元 , , に対し、 かつ ならば が成り立つ。 *反対称律： の任意の元 , に対し、 かつ ならば が成り立つ。 *全順序律： の任意の元 , に対し、 または が成り立つ。 「」が全順序律を満たさない場合、「」でも「」でもないケースがある。このような第三のケースにあるとき と は比較不能 (incomparable) であるという。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「順序集合」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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