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数学における順極限（じゅんきょくげん）または直極限（ちょくきょくげん、）もしくは帰納極限（きのうきょくげん、）は、「対象の向き付けられた族」の余極限である。本項ではまず群や加群などの代数系に対する帰納極限の定義から始めて、あらためて任意の圏において通用する一般的な定義を与える。 == 厳密な定義 == === 代数系の帰納極限 === 本節では、対象はある決まった代数的構造（例えば群や環あるいは適当に固定された環上の加群や多元環など）をもつ集合とする。このとき準同型は、考えている代数系におけるものを考えることにする。 まず、対象と射（準同型）のなす直系または順系 あるいは帰納系 と呼ばれるものの定義から始める。⟨''I'', ≤⟩ を有向集合とし、{''A''''i'' | ''i'' ∈ ''I''} を ''I'' で添字付けられた対象の族、''f''''ij'': ''A''''i'' → ''A''''j'' (''i'' ≤ ''j'') を準同型の族として、以下の条件 # ''f''''ii'' は ''A''''i'' の恒等写像であり、 # 任意の ''i'' ≤ ''j'' ≤ ''k'' に対して ''f''''ik'' = ''f''''jk'' ∘ ''f''''ij'' が成立する。 が満たされるとき、対、⟨''A''''i'', ''f''''ij''⟩ は ''I'' 上の帰納系と呼ばれる。 帰納系 ⟨''A''''i'', ''f''''ij''⟩ の帰納極限 ''A'' の台集合は、''A''''i'' の直和集合の適当な同値関係 ∼ による商集合 : として与えられる。ここで、''x''''i'' ∈ ''A''''i'' と ''x''''j'' ∈ ''A''''j'' に対して、''x''''i'' ∼ ''x''''j'' となるのは、適当な ''k'' ∈ ''I'' において : が満たされるときである。発見的に、この直和における二つの元が同値となる必要十分条件はそれらがこの帰納系において「いつかは 等しくなる」ときである。この同値関係の、逆極限との双対性に焦点を当てた定式化として、各元は帰納系に属する各射による自身の像と同値である、つまり : が任意の ''i'', ''k'' に対して成り立つ。 この定義から、自然に標準射 φ''i'': ''A''''i'' → ''A'' が、各元をその同値類へ移すことによって定まる。帰納極限 ''A'' における代数的な演算はこの標準射を通じて自然な方法で定義される。 加群の圏において帰納極限を取る操作の重要な性質として、それが完全函手となることが挙げられる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「帰納極限」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Direct limit 」があります。 スポンサード リンク
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