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微分幾何学におけるガウスの驚異の定理（きょういのていり、ラテン語: Theorema Egregium）とは、カール・フリードリヒ・ガウスにより証明された曲面の曲率に関する定理である。 == 概要 == 本定理によると、曲面のガウス曲率は曲面上で測定される角度や距離などの量のみで表すことができ、曲面の周囲の3次元ユークリッド空間への「埋め込み」に関するいかなる情報も必要としない。即ち、ガウス曲率は曲面の内在的な不変量である。 ガウスはこの定理の内容を次のように述べている〔Karl Friedrich Gauss, ''General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825 '', The Project Gutenberg EBook of General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, by Karl Friedrich Gauss. p20.〕： :''…このようにして、前項で述べた公式から驚くべき定理が導かれる。曲面を他のいかなる曲面に展開しても、各点における曲率は不変のままその値を保つのである。'' 現代数学の用語を用いて表すと、本定理は以下の様に述べることが出来る： :曲面のガウス曲率は、局所等長写像に関して不変である。 この定理が「驚異」的である理由は、後述するようにガウス曲率の定義は空間内における曲面の外在的な情報（曲面に直交する法ベクトル）を使用しているにも関わらず、最終的にはガウス曲率は空間内への埋め込みに関する外在的な情報を必要とせず、内在的な量のみで求められることである。曲面の「曲がり具合」を表すガウス曲率が曲面の内在量であるという事実は、空間の「曲がり具合」を考察するのに「外の世界」の情報が必要でない可能性を示唆し、後のリーマン幾何学、そしてリーマン幾何学を数学的基礎として構築された一般相対性理論へ繋がることとなる。 証明には、ガウス曲率の定義とリーマン曲率テンソルに関するを用いる方法などがある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「驚異の定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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